সংখ্যা পদ্ধতি কাকে বলে (What is Number System )

Number System

We are sharing and using language about Binary Number, Octal Number, Decimal Number Hexadecimal Number System and Conversion of Number.

 

সংখ্যা পদ্ধতি কাকে বলে (What is Number System  )

বিভিন্ন সাংকেতিক চিহ্ন বা মৌলিক চিহ্ন ব্যবহার করে সংখ্যা লেখা ও প্রকাশ করার পদ্ধতিকেই সংখ্যা পদ্ধতি (Number System) বলে।

সংখ্যা পদ্ধতির প্রকারভেদ (Classification of Number System )

প্রকাশের পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে সংখ্যা পদ্ধতি দু’প্রকার

১) পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System)

২) নন-পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি (Non-Positional Number System)

আমরা এখন পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System)নিয়ে আলোচনা করব।

পজিশনাল বা অবস্থানগত সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System) : যে সংখ্যা পদ্ধতি উপস্থাপনের জন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মৌলিক চিহ্ন বা বেস বা ভিত্তি এবং ইহার স্থানীয় মান থাকতে হয় তাকে পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি বলে।

পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি (Positional Number System) চার প্রকার।যথা–

1. Decimal Number System
2. Binary Number System
3. Hexadecimal Number System
4. Octal Number System

 

১) দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি (Decimal Number System ):

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে দশটি (১০টি) অংক (Digit) ব্যবহার করা হয়  তাকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি বলে। Decimal Number System এর Base (ভিত্তি)  = ১০। কারন এই Number System এ  ০ থেকে  ৯ পর্যন্ত মোট ১০ টি মৌলিক অঙ্ক আছে। যথা-০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯ ।

যেমনঃ (৫৯৮)_১০, (৪২০)_১০, (১২)_১০, (১০)_১০,( ১১৫)_১০ইত্যাদি।

(৫৯৮)_১০

৫৯৮ সংখ্যাটিকে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এটি একটি দশ ভিত্তিক সংখ্যা।এর প্রতিটি অঙ্কের স্থানীয় মান দশ বা তার গুনিতক।পূর্ণাংশের ডান দিক থেকে এবং ভগ্নাংশের বাম দিক থেকে মান নি্র্ণয় করতে হয়। সেক্ষেত্রে অবশ্যই সূচক বা ঘাত গুণিতক প্রকাশ করে। যেমন-

 

 

 

শতক                     দশক                      একক

৫ × ১০^২                 ৯ × ১০^১                 ৮ × ১০^০

৫ × ১০০                ৯ × ১০                  ৮ × ১ (কোন সংখ্যার পাওয়ার ০ হলে ১ ধরে নিতে হয়)

৫০০                      ৯০                        ৮

৫০০+৯০+৮= ৫৯৮

 

২) বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি (Binary Number System) :

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে দুটি (২টি) অংক (Digit) ব্যবহার করা হয়  তাকে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি বলে। Binary Number System এর Base (ভিত্তি)  = ২।  এই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত ডিজিটগুলো  ০ এবং ১ ।

যেমনঃ ১০, ১০০,১১, ১১১ ,১০১১০ ইত্যাদি। এটা দুই বিট বিশিষ্ট সংখ্যা।

১০১১০ সংখ্যাটি বাইানারি সংখ্যা এর প্রতিটি অঙ্কের স্থানীয় মান দুই বা তার গুনিতক।

১০১১০= ১×২^৪+০×২^৩+১×২^২+১×২^১+০×২^০

 

২) অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি (Octal Number System) :

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে আটটি (৮টি) অংক (Digit) ব্যবহার করা হয়  তাকে অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। Octal Number System এর Base (ভিত্তি)  = ৮। কারন এই Number System এ  ০ থেকে  ৭ পর্যন্ত মোট ৮ টি মৌলিক অঙ্ক আছে। যথা-০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭।

যেমনঃ ১০১১০, ৭৫৬ ,৫৭০ ইত্যাদি। এটা তিন বিট বিশিষ্ট সংখ্যা।

২০১১০ সংখ্যাটি অক্টাল সংখ্যা এর প্রতিটি অঙ্কের স্থানীয় মান আট বা তার গুনিতক।

০২০১১০=০×৮^৫+১×৮^৪+০×৮^৩+১×৮^২+১×৮^১+০×৮^০

 

২) হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি (HexadecimaNumber System) :

যে সংখ্যা পদ্ধতিতে ষোলটি(১৬টি) অংক (Digit) ব্যবহার করা হয়  তাকে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি বলে। Hexadecima Number System এর Base (ভিত্তি)  = ১৬। কারন এই Number System এ  ০ থেকে  ৯ পর্যন্ত  ১০ টি মৌলিক অঙ্ক এবং Latter A থেকে F পর্যন্ত 6 টি মোট (10 + 6) = 16 টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়।

যথা-০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,A,B,C,D,E,F ।

যেমনঃ , ৬ A F , A৫C,E৭C ইত্যাদি। এটা চার বিট বিশিষ্ট সংখ্যা।

সংখ্যাটি হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা এর প্রতিটি অঙ্কের স্থানীয় মান ১৬ বা তার গুনিতক।

৬ A F =৬ ×১৬^২+ A ×১৬^১+ F ×১৬^০

এক  নজরে বাইনারি ,অক্টাল, ডেসিমেল ও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি/বেজ, ব্যবহৃত ডিজিটের উদাহরণ দেওয়া হল।

সংখ্যা পদ্ধতি	বেজ/ভিত্তি	ব্যবহৃত ডিজিট সমূহ	উদাহরণ
ডেসিমেল	১০	০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯	৪৯৮
বাইনারি	২	০,১	১০০
অক্টাল	৮	০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭	৭৫৬
হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা	১৬	০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯ ও A,B,C,D,E,F	A৫৭

 

বাইনারি ,অক্টাল, ডেসিমেল ও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতির ছক।

দশমিক সংখ্যা	বাইনারি সংখ্যা	অক্টাল সংখ্যা	হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা
০	০	০	০
১	১	১	১
২	১০	২	২
৩	১১	৩	৩
৪	১০০	৪	৪
৫	১০১	৫	৫
৬	১১০	৬	৬
৭	১১১	৭	৭
৮	১০০০	১০	৮
৯	১০০১	১১	৯
১০	১০১০	১২	A
১১	১০১১	১৩	B
১২	১১০০	১৪	C
১৩	১১০১	১৫	D
১৪	১১১০	১৬	E
১৫	১১১১	১৭	F
১৬	১০০০০	২০	১০
১৭	১০০০১	২১	১১
১৮	১০০১০	২২	১২
১৯	১০০১১	২৩	১৩
২০	১০১০০	২৪	১৪
২১	১০১০১	২৫	১৫
২২	১০১১০	২৬	১৬
২৩	১০১১১	২৭	১৭
২৪	১১০০০	৩০	১৮
২৫	১১০০১	৩১	১৯
২৬	১১০১০	৩২	১A
২৭	১১০১১	৩৩	১B
২৮	১১১০০	৩৪	১C
২৯	১১১০১	৩৫	১D
৩০	১১১১০	৩৬	১E
৩১	১১১১১	৩৭	১F
৩২	১০০০০০	৪০	২০
৩৩	১০০০০১	৪১	২১
৩৪	১০০০১০	৪২	২২
৩৫	১০০০১১	৪৩	২৩
৩৬	১০০১০০	৪৪	২৪
৩৭	১০০১০১	৪৫	২৫
৩৮	১০০১১০	৪৬	২৬
৩৯	১০০১১১	৪৭	২৭
৪০	১০১০০০	৫০	২৮
৪১	১০১০০১	৫১	২৯
৪২	১০১০১০	৫২	২A
৪৩	১০১০১১	৫৩	২B
৪৪	১০১১০০	৫৪	২C
৪৫	১০১১০১	৫৫	২D
৪৬	১০১১১০	৫৬	২E
৪৭	১০১১১১	৫৭	২F
৪৮	১১০০০০	৬০	৩০
৪৯	১১০০০১	৬১	৩১
৫০	১১০০১০	৬২	৩২

 

সংখ্যা রুপান্তর (Conversion of Numbers)

দশমিক সংখ্যাকে বাইনারি, অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল  সংখ্যায় রূপান্তর।

পূর্ণ্ অংশের ক্ষেত্রেঃ

বাইনারি সংখ্যার বেজ ২,অক্টাল সংখ্যার বেজ ৮ এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যার বেজ ১৬ দ্বারা দশমিক সংখ্যার পূর্ণাংশকে ভাগ করতে হবে যতক্ষন না ভাজ্য ০ হয়। প্রত্যেকবার ভাগ করার সময় ভাগশেষকে সংরক্ষন করে ভাগশেষগুলোকে শেষ থেকে প্রথম দিকে  অর্থাৎ উল্টো করে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাই দশমিক সংখ্যার সমকক্ষ বাইনারি /অক্টাল /হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা।

ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেঃ

বাইনারি সংখ্যার বেজ ২,অক্টাল সংখ্যার বেজ ৮ এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যার বেজ ১৬ দ্বারাদ্বারা দশমিক সংখ্যার ভগ্নাংশকে গুন করতে হবে যতক্ষন না ভগ্নাংশ পূর্ণাংশে পরিণত হয়।প্রত্যেকবার গুন করার সময় পূর্ণাংশকে পূর্ণাংশ না থাকলে ০ কে সংরক্ষন করে প্রথম থেকে শেষ দিকে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাই দশমিক সংখ্যার সমকক্ষ বাইনারি /অক্টাল /হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা।

(.৮১২৫)১০

গুন	গুনফল	ভগ্নাংশ	পূর্ণ্ সংখ্যা
.৮১২৫×২=	১.৬২৫	.৬২৫	১
.৬২৫×২=	১.২৫	.২৫	১
.২৫×২=	.৫০	.৫০	০
.৫০×২=	১.০	০	১

অতএব (.৮১২৫)১০=(১১০১)_২

অনুরূপভাবে দশমিক সংখ্যাকে অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করা যায়।

 

বাইনারি, অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল  সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর।

পূর্ণ্ অংশের ক্ষেত্রে

কোন সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে তার বেজ বা ভিত্তি দিয়ে প্রত্যেকটি অংককে গুন করে ডান দিক থেকে বাম দিকে প্রতি ঘরের বেজ এর উপর ক্রমান্বয়ে  ০,১,২—– বসিয়ে অঙ্কগুলোকে নিজস্ব স্থানীয় মান দিয়ে গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলকে যোগ করলে সেই সংখ্যার সমান দশমিক সংখ্যা পাওয়া যায়।

যেমনঃ (১০০১০)_২= (?)

(১০০১০)_২=    (১×২^৪)+(০×২^৩)+(০×২^২)+(১×২^১)+(০×২^০)

=১×১৬ + ০×৮ + ০×৪ + ১×২ + ০×১

=১৬+০+০+২+০

=১৮

 

ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেঃ

কোন সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে তার বেজ বা ভিত্তি দিয়ে প্রত্যেকটি অংককে গুন করে বাম দিক থেকে ডান দিকে প্রতি ঘরের বেজ এর উপর ক্রমান্বয়ে -১,-২,-৩—- বসিয়ে অঙ্কগুলোকে নিজস্ব স্থানীয় মান দিয়ে গুণ  করার পর ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফলকে যোগ করলে সেই সংখ্যার সমান দশমিক সংখ্যা পাওয়া যায়।

যেমনঃ (০.১১০১)_২= (?)

(০.১১০১)_২= (১×২^-১)+(১×২^-২)+(০×২^-৩)+(১×২^-৪)

= ১×১/২ + ১×১/৪ + ০×১/৮ +১×১/১৬

=১/২ + ১/৪ + ০/৮ +১/১৬

=.৫০ + .২৫ + .০ + .০৬২৫

=(০.৮১২৫)_১০

              (০.১১০১)_২=(০.৮১২৫)_১০

অনুরূপভাবে অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করা যায়।

 

বাইনারি সংখ্যাকে  অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল  সংখ্যায় রূপান্তর।

বাইনারি সংখ্যাকে অক্টাল বা হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হলে পূর্ণাংশের জন্য ডান দিক থেকে বাম দিকে এবং ভগ্নাশের জন্য বাম দিক থেকে ডান দিকে অক্টালের জন্য ৩বিট এবং হেক্সাডেসিমেলের জন্য ৪বিট করে ভাগ করে প্রতি ভাগের বাইনারি মান সমূহ সাজালে অক্টাল বা হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পাওয়া যায়।

যেমনঃ

বাইনারি	তিন/ চার বিট করে ভাগ	অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল
১০০১০১০০	০১০    ০১০  ১০০	(২২৪)৮
.০১০১১০	.০১০  ১১০	(.২৬)৮
১১০০১১১১০০	০০১১  ০০১১  ১১০০	(৩৩C)১৬
.১০১০০১১	.১০১০  ০১১০	(.A৬)১৬

 

অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল  সংখ্যাকে  বাইনারি  সংখ্যায় রূপান্তর।

অক্টালের জন্য প্রতিটি ডিজিটকে তার সমতুল্য তিন বিট করে এবং হেক্সাডেসিমেলের জন্য প্রতিটি ডিজিটকে তার সমতুল্য চার বিট করে বাইনারিতে লিখলেই প্রাপ্ত সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল	তিন/ চার বিট করে ভাগ	বাইনারি
(১৭৫)৮	০০১    ১১১  ১০১	(১১১১১০১)২
(.০২৩)৮	.০০০    ০১০  ০১১	(.০০০০১০০১১)২
(৫C৩)১৬	০১০১   ১১০০  ০০১১	(১০১১১০০০০১১)২
(.A৯)১৬	.১০১০  ১০০১	(.১০১০১০০১)২

 

অক্টাল সংখ্যাকে হেক্সাডেসিমেল  সংখ্যায় রূপান্তর।

অক্টাল সংখ্যাকে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য প্রথমে অক্টালের জন্য প্রতিটি ডিজিটকে তার সমতুল্য তিন বিট করে বাইনারিতে লিখে পরবতীতে হেক্সাডেসিমেল এর জন্য চার বিট করে সাজিয়ে তার সমতুল্য হেক্সাডেসিমেল সংখাটি লিখলেই প্রাপ্ত সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

অক্টাল	৫২৭.৩৭৫
বাইনারির তিন বিট	১০১ ০১০ ১১১ .০১১ ১১১ ১০১
বাইনারির চার বিট	১ ০১০১ ০১১১ .০১১১ ১১১০ ১
পূর্ণাংশের ডান দিক থেকে এবং ভগ্নাংশের বাম দিক ০ যোগ করে চার বিট করা হয়েছে।	০০০১ ০১০১ ০১১১ .০১১১ ১১১০ ১০০০
হেক্সাডেসিমেল	১    ৫    ৭    .৭    E    ৮
প্রাপ্ত সংখ্যা	(৫২৭.৩৭৫)৮=(১৫৭.৭E ৮)১৬